Séries alternadas, de Dirichlet, de Mengoli, convergência de uma série, série geométrica e linear, limite de sucessões/sequências, convergência e monotonia assim como máximos e mínimos, supremos ou ínfimos, majorantes e minorantes
14 fev 2012, 11:59
Ola,
De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício:
Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN:
1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente)
2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\)
3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente.
4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN.
4-b) Demonstre que obtemos \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\)
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
14 fev 2012, 16:05
Boas
Se \(u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+12}\) e \(u_0=0\)
basta ir fazendo as contas até chegar a \(u_5\)
\(u_1=\sqrt{u_{0}+12}=\sqrt{0+12}=\sqrt{12}\)
\(u_2=\sqrt{u_{1}+12}=\sqrt{\sqrt{12}+12}\)
\(u_3=\sqrt{u_{2}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}\)
\(u_4=\sqrt{u_{3}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}\)
e finalmente
\(u_5=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}+12}\)
este é o valor exato, para chegar a uma aproximação, é só fazer as contas...
____
Para demonstrar que \(u_n < 4 \forall n \in \mathbb{N}\) podemos usar
indução matemática:
Base: é válido para \(n=0\) pois \(u_0=0 < 4\)
Passo: Se é válido para \(n\) então também é válido para \(n+1\)
ora se \(u_n<4\) então:
\(u_n+12<16 \Leftrightarrow \sqrt{u_n+12}<\sqrt{16} \Leftrightarrow u_{n+1} < 4\)
como queríamos demonstrar
para demonstrar que \(u_n\) é estritamente crescente basta provar que
\(u_{n+1}-u_{n}>0\)
Cumprimentos
17 fev 2012, 01:53
Ola, mais uma vez muito obrigado pela ajuda. Consegui avançar no seguinte, ou seja uma parte foi na base dos conselho indicados na tua resposta:
1) Calculo de (Un)
\(u_{0}=0\)
\(u_{1}=3,46410\)
\(u_{2}=3,93244\)
\(u_{3}=3,99155\)
\(u_{4}=3,99894\)
\(u_{5}=3,99987\)
Resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente.
\(u_{0}=0*10^{-5}=0\)
\(u_{1}=346410*10^{-5}\)
\(u_{2}=393244*10^{-5}\)
\(u_{3}=399155*10^{-5}\)
\(u_{4}=399894*10^{-5}\)
\(u_{5}=399987*10^{-5}\)
então \(1\leq n\leq 5\) tendo em conta resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente.
\(u_{1}=346410*10^{-5}\) e \(u_{5}=399987*10^{-5}\)
o que significa que \(346410*10^{-5}\) \(\leq n\leq\) \(399987*10^{-5}\)
Gostava de contar com o teu conselho em relação aos passos dado ate aqui.
17 fev 2012, 14:42
Os resultados numéricos aparentam estar corretos, mas fazes alguma confusão nos conceitos matemáticos
Isto está incorreto:
\(346410*10^{-5}\leq n\leq 399987*10^{-5}\)
O terno \(n\) pertence aos naturais e é tão-somente 1,2,3,4,5,6,7..., assim não é verdade que por exemplo para n=7
\(346410*10^{-5}\leq 7 \leq 399987*10^{-5}\)
O que podes claramente reparar é que:
\(u_{1}<4\)
\(u_{2}<4\)
\(u_{5}<4\)
e como já foi demonstrado
\(u_{n}<4, \forall n\)
Não confundas o \(n\) (índice da série que é não mais que números naturais 1,2,3,4....) com o \(u_{n}\) que é o valor da sucessão para aquele valor específico de \(n\)
É como numa função, não confundir o \(x\) com o \(f(x)\)
21 fev 2012, 22:15
Ola,
De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício:
Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN:
1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente)
2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\)
3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente.
4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN.
Boa noite,
Tenho avançar de uma forma geral na resolução destes exercícios mas no entanto estou com dificuldades no exercício 4-a).
Pelo que agradeço um ajudinha no que me poderia desbloquear...
Sei que já demonstramos que \(u_{n}< 4\) e tambem \(u_{n+1}> u_{n}\)
Mas não consigo encaixar as coisas ...
22 fev 2012, 15:19
\(4-u_{n+1}<\frac{4-u_n}{4}\)
Multiplicando tudo por \({4}\) e sabendo que \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}\)
\(16 - 4 \sqrt{u_n+12} < 4 -u_n\)
\(12 - 4 \sqrt{u_n+12} < -u_n\)
\(4 \sqrt{u_n+12} > u_n +12\)
Como ambas as parcelas são maior que zero, podemos fazer o quadrado dos dois lados
\((4 \sqrt{u_n+12})^2 > (u_n +12)^2\)
\(16 (u_n+12) > (u_n +12)^2\)
\(16 > u_n +12\)
\(u_n < 4\)
como já havíamos demonstrado
Cumprimentos
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