[Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática
14 abr 2013, 19:20
Olá, venho mais uma vez colocar uma questão que não consegui resolver...
Por recurso ao metodo de inducao matematica prove que:
\(\sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n\right)}\)
Já consegui provar o caso base n=1 que deu 1/35
Não consegui foi acabar de provar a Tese de Indução
\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n+1}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n+1\right)}\)
Pelos meus cálculos ficaria:
\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)
substituindo pela hipótese de indução
\(= \frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)
e empanquei aqui...
Podem ajudar-me a concluir este exercício?
Cumprimentos
Por recurso ao metodo de inducao matematica prove que:
\(\sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n\right)}\)
Já consegui provar o caso base n=1 que deu 1/35
Não consegui foi acabar de provar a Tese de Indução
\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \frac{n+1}{5 \cdot \left(5+2 \cdot n+1\right)}\)
Pelos meus cálculos ficaria:
\(\sum_{{k}={1}}^{n+1} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} = \sum_{{k}={1}}^{n} \frac{1}{\left(2 \cdot k+3\right) \cdot \left(5+2 \cdot k\right)} + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)
substituindo pela hipótese de indução
\(= \frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}\)
e empanquei aqui...
Podem ajudar-me a concluir este exercício?
Cumprimentos
Re: [Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática
14 abr 2013, 20:20
Bem, vc prosseguiu muito bem, agora é mesmo só contas hard core 
\(\frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}=\\ =\frac{n}{5\cdot\left(2n+5\right) } + \frac{1}{\left(2n+5\right) ( 2n+7)}=\\ =\frac{n(2n+7)+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{2n^2+7n+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{(n+1)(2n+5)}{5(2n+5)(2n+7)}=\\ =\frac{n+1}{5(2n+7)}\\ c.q.d.\)
\(\frac{n}{5\cdot\left(5+2 \cdot n\right) } + \frac{1}{\left(2 \cdot (n+1)+3\right) \left(5+2 \cdot (n+1)\right)}=\\ =\frac{n}{5\cdot\left(2n+5\right) } + \frac{1}{\left(2n+5\right) ( 2n+7)}=\\ =\frac{n(2n+7)+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{2n^2+7n+5}{5(2n+5)(2n+7)}=\frac{(n+1)(2n+5)}{5(2n+5)(2n+7)}=\\ =\frac{n+1}{5(2n+7)}\\ c.q.d.\)
Re: [Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática [resolvida]
14 abr 2013, 21:27
João Ferreira .... excelente!!
Como é que eu não consegui reduzir ao mínimo múltiplo comum?
Tenho de parar de multiplicar o divisor das fracções uns pelos outros sem pensar...
Bastava multiplicar as porções que faltavam em cada divisor!! que parvoíce! :P
Obrigado pelos esclarecimentos,
as minhas contas só ainda são soft core...
Cumprimentos
Como é que eu não consegui reduzir ao mínimo múltiplo comum?
Tenho de parar de multiplicar o divisor das fracções uns pelos outros sem pensar...
Bastava multiplicar as porções que faltavam em cada divisor!! que parvoíce! :P
Obrigado pelos esclarecimentos,
as minhas contas só ainda são soft core...
Cumprimentos
Re: [Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática
14 abr 2013, 23:50
Sempre às ordens
Já vi que tem alguns conhecimentos em Matemática, aproveite e use-os de vez em quando para ajudar os outros quando puder
Cumprimentos
Já vi que tem alguns conhecimentos em Matemática, aproveite e use-os de vez em quando para ajudar os outros quando puder
Cumprimentos
Re: [Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática
15 abr 2013, 01:17
Obrigado pelo elogio!
Se vir perguntas às quais consiga responder
vou tentar ajudar outros utilizadores deste fórum!
Cumprimentos
Se vir perguntas às quais consiga responder
vou tentar ajudar outros utilizadores deste fórum!
Cumprimentos
Re: [Somatório] Provar pelo Método de Indução Matemática
15 abr 2013, 01:40
Prevaricador Escreveu:Obrigado pelo elogio!
Se vir perguntas às quais consiga responder
vou tentar ajudar outros utilizadores deste fórum!
Cumprimentos
Muito obrigado
A comunidade agradece