desigualdade envolvendo limites

[Walter R]

Gostaria de alguma dica para resolver o seguinte problema: sejam duas sequências \((a_n)\) e \((b_n)\) limitadas. Provar que se \(a_n+b_n\rightarrow c\), então \(c\leq lim\, sup \, a_n + lim \, inf \, b_n\).

Minha tentativa: \(lim (a_n+b_n)=c\rightarrow lim \, a_n + lim \, b_n = c\). Chamemos \(lim \, a_n = \alpha\) e \(lim\, b_n = \beta\). Então \(\alpha = lim\, inf \, a_n = lim \, sup \, a_n\) e \(\beta = lim\, inf\, b_n = lim\, sup\, b_n\).

\(\forall \varepsilon >0, \exists n>n_0\) tal que

\(\alpha -\varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon\) (1)

\(\forall \varepsilon >0, \exists n>n_1\) tal que

\(\beta -\varepsilon <b_n<\beta +\varepsilon\) (2)


Fazendo \(n_2=max(n_0,n_1)\), e somando (1) e (2):

\(a_n+b_n<\alpha +\beta +\epsilon\) (3). Mas como \(lim(a_n+b_n)=c\rightarrow \forall \varepsilon >0, \exists n>n_3\) tal que \(c-\varepsilon <a_n+b_n<c+\varepsilon\) (4), então, fazendo \(n_4=max(n_2,n_3)\) podemos combinar (3) e (4), o que resulta \(\forall \varepsilon >0, \exists n>n_4\) tal que
\(c-\varepsilon <a_n+b_n<lim\, sup\, a_n + lim\, inf\, b_n\Rightarrow c<lim\,sup\,a_n+lim\,inf\,b_n+\varepsilon\). Como \(\varepsilon\) é um valor positivo arbitrário, que pode ser feito tão pequeno quanto se queira, resulta:

\(C\leq lim\,sup\,a_n+lim\,inf\,b_n\)

ISTO ESTÁ FORMALMENTE CORRETO?

[Sobolev]

Walter,

A sua resolução não está correcta porque parte de um pressuposto errado... veja que \(lim (a_n +b_n)\) pode existir sem que existam os limites das sucessões \(a_n, b_n\). Dessas sucessões apenas sabe que são limitadas.

Na verdade a sua resolução funciona apenas no caso de todos os limites existirem, reduzindo-se nesse caso à prova de que o limite da soma é a soma dos limites.

[Walter R]

Tens toda a razão, Sobolev!
Então, renovo a tentativa.
Podem não existir os limites de \((a_n)\) e \((b_n)\), mas como são sequências limitadas, sei que existe uma subsequência \(({b_n_{k}})\) que converge para \(lim\,inf\,b_n\). Por outro lado, \((a_n_k)\) é uma subsequência também limitada, então possui alguma subsequência convergente, digamos \((a_n_k_i)\), que converge para um valor \(x\leq lim\,sup\,a_n\). Como \((b_n_k)\rightarrow lim\,inf\,b_n\), então posso afirmar que \((b_n_k_i)\rightarrow lim\,inf\,b_n\). Então, agora tenho duas sequências convergentes, \((a_n_k_i) e (b_n_k_i)\). Lembrando que \((a_n_k_i+b_n_k_i)\rightarrow c\), é possível escrever:
\(lim(a_n_k_i+b_n_k_i)=c=lim\,a_n_k_i+lim\,b_n_k_i=x+lim\,inf\,b_n\). Como \(x\leq lim\,sup\,a_n\), resulta:
\(c\leq lim\,inf\,b_n+lim\,sup\,a_n\)
Convenci?