PRODUTÓRIO: Resolver \prod [1 - \frac{1}{(i+1)^2}]

[MarcioViniciusdaCunhaMartins]

Caros companheiros,

Tentando resolver a equação abaixo chego na resposta \(\frac {n+2}{n+1}\) e a correta é \(\frac {n+2}{2n+2}\) segundo a resposta do livro e o site do Wolfram

Segue o desenvolvimento:
\(\prod [1 - \frac{1}{(i+1)^2}] = \prod [\frac{(i+1)^2-1}{(i+1)^2}] = \prod [\frac{i^2+2i+1-1}{(i+1)^2}] = \prod [\frac{i^2+2i}{(i+1)^2}] = \frac {\prod(i^2+2i)}{\prod(i+1)^2} = \frac {\prod i(i+2)}{[\prod (i+1)]^2} = \frac {(\prod i)[\prod (i+2)])}{(n+1)!^2} = \frac {n!(n+2)!}{(n+1)!(n+1)!} = \frac {n!(n+2)(n+1)!}{(n+1)!(n+1)!} = \frac {n!(n+2)}{(n+1).n!} = \frac {n+2}{n+1}\)

Alguém saberia onde estou errando?

Abraço a todos e obrigado.

[santhiago]

Note que \(\prod_{i=1}^n (i+2) = \prod_{k=3}^{n+2} k = 2^{-1}\prod_{k=1}^{n+2} k = (n+2)!/2\)e

\(\prod_{i=1}^n (i+1) = \prod_{z=2}^{n+1} z = \prod_{z=1}^{n+1} z = (n+1)!\) .

Daí ,

\(\prod_{i=1}^n \frac{i(i+2)}{(i+1)^2} = \prod_{i=1}^n i \prod_{i=1}^n(i+2)/\left(\prod_{i=1}^n (i+1) \right )^2 = \frac{n!(n+2)!}{2 (n+1)!^2} = \frac{(n+2)!}{2(n+1)!(n+1)} = \frac{(n+2)}{2(n+1)}\) .