quase-cota superior de um conjunto

[Walter R]

Não estou conseguindo formalizar uma solução para o problema seguinte. Se alguém tiver alguma dica, agradeço muito.

"Seja \(A\subseteq \mathbb{R}\) e \(b\in \mathbb{R}\). Dizemos que b é uma quase cota superior de A se existe somente um número finito ( que pode ser inclusive zero) de \(x\in A\) tais que \(x>b\). Seja \(C\) o conjunto dos \(b\in \mathbb{R}\) tais que b é quase-cota superior de A, e considere \(L=inf\, C\).
\(L\) é chamado de limite superior de A e denotado por \(L=lim\,sup\,A.\).

i) justifique se \(L\in C\) ou não.

ii) Mostre que \(lim\,sup\,A\leq sup\,A\) e que se \(lim\,sup\,A < sup\,A\), então A possui maior elemento."

[Rui Carpentier]

i) justifique se \(L\in C\) ou não.

Não. Exemplo: \(A=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}\), \(C=(0,+\infty)\), \(L=0\not\in C\).

ii) Mostre que \(lim sup A\leq sup A\) e que se \(lim sup A< sup A\), então A possui maior elemento.

Para mostrar que \(lim sup A\leq sup A\) basta ver que \(sup A\in C\) o que sai imediatamente da definição de C.
Se \(lim sup A< sup A\) então, tomando \(lim sup A<a< sup A\), temos que \(A\cap [a,+\infty)\) é finito (pois \(a>lim sup A \Rightarrow a\in C\)) e não-vazio (pois \(a<sup A\)) logo \(A\cap [a,+\infty)\) tem máximo que também é máximo de \(A\).

[Walter R]

Obrigado, Rui. Em particular, foi especialmente esclarecedor o contra-exemplo oferecido.