Seja tn, o n-ésimo número triangular. Mostre que é válida, para um certo K fixo, a relação Ktn+tn-1=t2n

[helena]

Seja tn, o n-ésimo número triangular. Mostre graficamente e algebricamente que é válida, para um certo K fixo, a relação Ktn+tn-1=t2n .E calcula o valor de K.

[Rui Carpentier]

Algebricamente é só ter em conta que \(t_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Assim,

\(t_{2n}-t_{n-1}=\frac{2n(2n+1)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}=n\left(2n+1-\frac{n-1}{2}\right)=n\left(\frac{4n+2-n+1}{2}\right)=\frac{n(3n+3)}{2}=3t_n\).

Graficamente vou só dar o seguinte exemplo:

\(t_6=\begin{matrix}*&&&&&\\*&*&&&&\\*&*&*&&&\\*&o &o &*&&\\*&*&o &*&*&\\*&*&*&*&*&*\end{matrix}=3\begin{matrix}*&&\\*&*&\\*&*&*\end{matrix}+\begin{matrix}o&o\\ &o\end{matrix}=3t_3 +t_2\)

[helena]

Muito obrigada.