Operação com traço de matriz
03 jun 2013, 19:37
Gostaria de pedir a vossa ajuda para esta questão:
Considera a função f:M2x2(R)x M2x2(R)___R definida por f (A,B)= tr (AB) onde tr(.) denota o traço da matriz.
Verifique se f é bilinear e caso seja determine a forma quadrática Q associada a f, estudando-a quanto a ser ou não degenerada, e determine o seu núcleo.
Considera a função f:M2x2(R)x M2x2(R)___R definida por f (A,B)= tr (AB) onde tr(.) denota o traço da matriz.
Verifique se f é bilinear e caso seja determine a forma quadrática Q associada a f, estudando-a quanto a ser ou não degenerada, e determine o seu núcleo.
Re: Operação com traço de matriz
04 jun 2013, 15:02
A bilinearidade é simples de verificar:
\(f(A+ kC, B) = tr((A+kC)B) = tr(AB+kCB) = tr(AB) + k tr(CB) = f(A,B) + k f(C,B), \forall A,B,C \in \mathcal{M}_{2\times 2}, \forall k \in \mathbb{R}\)
\(f(A,B + k C) = tr(A(B+k C)) = tr(AB+kCB) = tr(AB) + k tr(AC) = f(A,B) + k f(A,C), \forall A,B,C \in \mathcal{M}_{2\times 2}, \forall k \in \mathbb{R}\)
Por outro lado, devido às propriedades do traço, f também é simétrica (f(A,B) = f(B,A)). Fixada uma base do espaço das matrizes 2x2, por exemplo
\(\mathcal{M}_{2 \times 2} = span \left{\left(\begin{matrix}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)\right\}\)
A aplicação f pode ser representada pela Matriz 4 x 4
\([f] = \left(\begin{matrix}{c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\)
De facto tem-se
\(f(A, B) = \left(\begin{matrix}{c} a_{11} & a_{12} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}{c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}{c} b_{11} \\ b_{12} \\ b_{21} \\ b_{22} \end{matrix}\right)\)
De volta ao essencial, a forma quadrática associada à forma bilinear simétrica f é precisamente
\(q(A) = f(A,A) = tr(A^2)= a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21}\)
O núcleo da forma f será então
\(Ker(q)=\left{ A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}: a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21} = 0\right}\)
Como este conjunto não se reduz à matriz nula, a forma só poderá ser indefinida ou semi-definida, em qualquer dos casos será degenerada.
\(f(A+ kC, B) = tr((A+kC)B) = tr(AB+kCB) = tr(AB) + k tr(CB) = f(A,B) + k f(C,B), \forall A,B,C \in \mathcal{M}_{2\times 2}, \forall k \in \mathbb{R}\)
\(f(A,B + k C) = tr(A(B+k C)) = tr(AB+kCB) = tr(AB) + k tr(AC) = f(A,B) + k f(A,C), \forall A,B,C \in \mathcal{M}_{2\times 2}, \forall k \in \mathbb{R}\)
Por outro lado, devido às propriedades do traço, f também é simétrica (f(A,B) = f(B,A)). Fixada uma base do espaço das matrizes 2x2, por exemplo
\(\mathcal{M}_{2 \times 2} = span \left{\left(\begin{matrix}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)\right\}\)
A aplicação f pode ser representada pela Matriz 4 x 4
\([f] = \left(\begin{matrix}{c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\)
De facto tem-se
\(f(A, B) = \left(\begin{matrix}{c} a_{11} & a_{12} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}{c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}{c} b_{11} \\ b_{12} \\ b_{21} \\ b_{22} \end{matrix}\right)\)
De volta ao essencial, a forma quadrática associada à forma bilinear simétrica f é precisamente
\(q(A) = f(A,A) = tr(A^2)= a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21}\)
O núcleo da forma f será então
\(Ker(q)=\left{ A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}: a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21} = 0\right}\)
Como este conjunto não se reduz à matriz nula, a forma só poderá ser indefinida ou semi-definida, em qualquer dos casos será degenerada.
Re: Operação com traço de matriz
04 jun 2013, 16:52
Caro Sobolev, já lhe haviam dito que você é um génio? 
Re: Operação com traço de matriz
04 jun 2013, 16:56
Obrigado pelo elogio, mas não é caso para tanto !
Re: Operação com traço de matriz
04 jun 2013, 23:41
olhe que eu acho que é, e além de génio é filantropo