Indução Matemática e Método Telescópico

[Prevaricador]

Olá a todos!

Tenho estado a resolver um exercício sobre somatórios que não consigo acabar...
podiam dar uma ajuda?


Mostre \(\sum_{j=1}^{n}(j+3)(j+3)! = (n+4)!-24\)

a) pelo método de indução matemática.
b) pelo método telescópico


A minha resolução da alínea começou pelo caso base: n=1

(1+3)(1+3)!=(1+4)!-24
96=96

mas estou a ter problemas com a Hipótese de indução:

para n+1 temos então que

\(\sum_{j=1}^{n+1}(j+3)(j+3)!\) = \(\sum_{j=1}^{n}(j+3)(j+3)! + (n+1+3)(n+1+3)!\)

\(= (n+4)!-24 + (n+4)(n+4)!\)

... não consigo chegar à hipótese de indução...


Na alínea b) Lei Telescópica (Séries de Mengoli)

Não consigo colocar a expressão \(\sum_{j=1}^{n+1}(j+3)(j+3)!\)

de forma a poder usar a propriedade telescópica:

\(\sum_{i=m}^{n-1}(ai+1 - ai) = an - am\)


Agradeço muito a ajuda porque por mais voltas que dê não consigo avançar neste exercício...

[Prevaricador]

Alguém pode dar uma opinião?

Cumprimentos

[Rui Carpentier]

Muito sucintamente:

Para a propriedade telescópica, note que (j+3)(j+3)!=(j+4-1)(j+3)!=(j+4)(j+3)!-(j+3)=(j+4)!-(j+3)!.

Na questão da indução note que (n+4)!-24+(n+4)(n+4)!=(n+5)(n+4)!-24=(n+5)!-24.
Assim, usando a hipótese de indução \(\sum_{j=1}^{n}=(n+4)!-24\) consegue-se provar (acrescentando a nota de cima ao que já fez) a tese de indução \(\sum_{j=1}^{n+1}=(n+5)!-24\).

[Prevaricador]

Rui Carpentier:

Muito obrigado pela ajuda!!!
Já consegui perceber o "truque" usado no Método Telescópico!

No entanto não entendi o passo:

"Na questão da indução note que (n+4)!-24+(n+4)(n+4)!=(n+5)(n+4)!-24"

Já tentei refazer este passo mas não consigo,
desculpe, podia trocar por miúdos?

Cumprimentos

[Prevaricador]

Já consegui perceber!!!
É usar o mesmo truque, ou seja:
(n+4)!-24+(n+4)(n+4)!
(n+4)!-24+(n+5-1)(n+4)!
(n+4)!-24+(n+5)(n+4)!-(n+4)!
(n+5)!-24

Obrigado!
Cumprimentos