Provar que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)

[m0x0]

Boa tarde,

Tenho uma dúvida num exercício que não consigo resolver, se alguém me puder ajudar agradecia.

O exercício é o seguinte:

Provar que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)

Penso que se pode resolver por indução mas não consigo resolver uma vez que não consigo encontrar o final da sucessão para 0+1+5+14+30+55+...+ ?????? = [n*(2n-1)*(n-1)]/6

O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:

1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6

Obrigado.

Editado pela última vez por m0x0 em 21 jul 2012, 22:11, num total de 1 vez.

[josesousa]

Bom dia.
É fácil ver que para n= 1 funciona (a função dá zero, que é divisível por seis)

Provemos que se funciona para n, também resulta para n+1.

Para n, temos que a expressão pode ser escrita como n(2n^2-3n+1).
Para n+1,
(n+1)(2(n+1)-1)n = (n+1)(2n+1)n = ... = n(2n^2+3n+1)

Então, para n temos que n(2n^2-3n+1) é divisível por 6.
Para n+1, temos que
n(2n^2+3n+1) = n(2n^2-3n+6n+1) = n(2n^2-3n+1)+6n^2

Como o primeiro termo é divisível por seis e o segundo também (6 vezes um número inteiro), então também para n+1 temos uma expressão divisível por seis

Por indução prova-se então que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)

[João P. Ferreira]

Muitos parabéns pela resolução meu caro

Bem visto essa da indução matemática

- Provar para n=1.
- Se funciona para n, também funciona para n+1

ovo de colombo, parabéns pela resolução meu caro, sucinta e clara

Caro Artur Benitez, volte sempre