Natureza da série, onde sucessão é definida por recursão

[Nataniel]

Boa tarde, estou a ter problemas na resolução do seguinte exercício:

Qual a natureza da série?
\(\sum_{n=1}^{^{\infty }}a_{n}\)

\(a_{1}= \frac{1}{3}\) , \(a_{n+1}= \sqrt[n]{a_{n}}\)

Gostaria que me ajudassem por favor.

[João P. Ferreira]

Boas

\(a_{n+1}=(a_n)^{1/n}\)

então

\(a_2=(a_1)=a_1\)

\(a_3=(a_2)^{1/2}=(a_1)^{1/2}\)

\(a_4=(a_3)^{1/3}=((a_1)^{1/2})^{1/3}=(a_1)^{1/6}\)

\(a_5=(a_4)^{1/4}=((a_1)^{1/6})^{1/4}=(a_1)^{1/24}\)

como pode reparar \(\lim a_n=a_1^{1/+\infty}=(1/3)^{1/+\infty}=(1/3)^{0}={1}\)

logo como o \(\lim a_n \neq 0\) a série é divergente

Saudações pitagóricas

[Nataniel]

O meu colega fez da seguinte forma:
Usando essa propriedade que desconheço.
Como é que eu posso demonstral tal propriedade? Será sempre válida?

Anexos

[João P. Ferreira]

Não percebo bem como fez, mas chegou à mesma conclusão, o que está correto