Limite de sequência

[Anne Cristina Vieira]

Boa noite, agradeço muito a ajuda de vocês.

Prove que o limite de uma sequência quando existe é único.

Abraços e muito obrigada
Anne

[josesousa]

Prove por absurdo.

Imagine que há dois limites diferentes \(L_1\) \(L_2\). Pela definição

\(\forall \epsilon>0\; \exist n_0 \in \mathbb{N}: n>n_0 \Rightarrow d(x_n,L_1)<\epsilon\)

\(\forall \epsilon>0\; \exist n_0 \in \mathbb{N}: n>n_0 \Rightarrow d(x_n,L_2)<\epsilon\)

Assim, \(d(L_1,L_2) \leq d(x_n,L_1) + d(x_n,L_2) <2\epsilon\)

Pelo que L1 e L2 serão o mesmo, pois \(\epsilon\) é todo o número maior que 0