Sequência convergente provar. [resolvida]
04 nov 2013, 03:35
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Re: Sequência convergente provar.
07 nov 2013, 20:06
Olá LEILA2000
Se an converge para 0, então por definição,
\(\forall_{\delta>0}\exists _{p\in \mathbb{N}}:n>p\Rightarrow |a_{n}|<\delta\)
Se bn é limitada, então por definição,
\(\exists _{k>0}\forall_{n\in \mathbb{N}}:|b_{n}|<k\)
Seja \(\delta >0\) qualquer. Uma vez que \(\delta/k>0\), sabe-se que existe p, tal que, para cada n > p, \(|a_{n}|<\delta/k\). Então, para cada n > p tem-se
\(|a_{n}b_{n}|=|a_{n}||b_{n}|<\frac{\delta }{k}k=\delta\)
Logo an x bn é convergente para 0.
c.q.d.
Bom estudo
Se an converge para 0, então por definição,
\(\forall_{\delta>0}\exists _{p\in \mathbb{N}}:n>p\Rightarrow |a_{n}|<\delta\)
Se bn é limitada, então por definição,
\(\exists _{k>0}\forall_{n\in \mathbb{N}}:|b_{n}|<k\)
Seja \(\delta >0\) qualquer. Uma vez que \(\delta/k>0\), sabe-se que existe p, tal que, para cada n > p, \(|a_{n}|<\delta/k\). Então, para cada n > p tem-se
\(|a_{n}b_{n}|=|a_{n}||b_{n}|<\frac{\delta }{k}k=\delta\)
Logo an x bn é convergente para 0.
c.q.d.
Bom estudo