Convergência de sum (x/x+1)^n
29 mai 2012, 22:34
Como consigo calcular a convergência da série.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{x}{x+1} \right )^{n}\)
Sei que \(\left |\frac{x}{x+1}\right |<1\) mas não consigo obter o resultado \(x\in ]-\frac{1}{2},+\infty[\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{x}{x+1} \right )^{n}\)
Sei que \(\left |\frac{x}{x+1}\right |<1\) mas não consigo obter o resultado \(x\in ]-\frac{1}{2},+\infty[\)
Re: Convergência de sum (x/x+1)^n
29 mai 2012, 23:19
Se vires bem, nem sempre
\(|\frac{x}{x+1}| \leq 1\)
Aliás, quando x= -1/2, é exactamente 1 o módulo e para valores de x inferiores, \(1 \leq|\frac{x}{x+1}|\)
\(|\frac{x}{x+1}| \leq 1\)
Aliás, quando x= -1/2, é exactamente 1 o módulo e para valores de x inferiores, \(1 \leq|\frac{x}{x+1}|\)
Re: Convergência de sum (x/x+1)^n
29 mai 2012, 23:28
Meu caro
É uma série de potência
\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} \, \ |x|<1\)
Assim, a série que refere dá:
\(\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1\)
Então como bem refere:
\(\left|\frac{x}{x+1}\right|<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{|x|}{|x+1|}<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x|<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-|x+1| \wedge x<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x+1|>-x \wedge |x+1|>x \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (x+1<x \vee x+1>-x) \wedge (x+1<-x \vee x+1>x) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (1<0 \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee 1>0) \Leftrightarrow \\\\ ( \phi \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee \Re) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2 \wedge \Re \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2\)
Assim o conjunto é
\(x \in ]-1/2,+\infty[\)
Saudações
É uma série de potência
\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} \, \ |x|<1\)
Assim, a série que refere dá:
\(\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=x+1\)
Então como bem refere:
\(\left|\frac{x}{x+1}\right|<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{|x|}{|x+1|}<1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x|<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-|x+1| \wedge x<|x+1| \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow |x+1|>-x \wedge |x+1|>x \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (x+1<x \vee x+1>-x) \wedge (x+1<-x \vee x+1>x) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow (1<0 \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee 1>0) \Leftrightarrow \\\\ ( \phi \vee x>-1/2) \wedge (x<-1/2 \vee \Re) \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2 \wedge \Re \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x>-1/2\)
Assim o conjunto é
\(x \in ]-1/2,+\infty[\)
Saudações
Re: Convergência de sum (x/x+1)^n
29 mai 2012, 23:39
Eu fiz assim
Porque é que na simplificação do módulo os sinais \(< \geq\) não podem ser \(\leq >\)? (trocar o sinal igual)
Porque é que na simplificação do módulo os sinais \(< \geq\) não podem ser \(\leq >\)? (trocar o sinal igual)
Re: Convergência de sum (x/x+1)^n
30 mai 2012, 11:08
jrodrigues Escreveu:Porque é que na simplificação do módulo os sinais \(< \geq\) não podem ser \(\leq >\)? (trocar o sinal igual)
Está a referir-se a que passo específico?
Re: Convergência de sum (x/x+1)^n
30 mai 2012, 11:34
Boas,
Se se está a referir à minha solução, de facto existe um erro inicial aquando a formatação da expressão, em que comecei com menor ou igual em vez de menor. Caso contrário não sei a que se refere.
Se se está a referir à minha solução, de facto existe um erro inicial aquando a formatação da expressão, em que comecei com menor ou igual em vez de menor. Caso contrário não sei a que se refere.