Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
31 mai 2012, 15:06
Qual é o raio de convergência da seguinte série?
\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)
Solução: R=2
\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)
Solução: R=2
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
31 mai 2012, 15:15
A resposta é parecida à da última pergunta que colocou. ver o limite da razão que lhe disse e vê-se facilmente que é 2. Acho que não vale a pena escrever tudo passo a passo outra vez, ok? 
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
31 mai 2012, 15:26
Pois não. Já consegui resolver.
Obrigado pelas dicas e velocidade na resposta.
Obrigado pelas dicas e velocidade na resposta.
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
31 mai 2012, 15:38
É sempre benvindo! Estamos aqui apra ajudar!
Saudações Pitagóricas
Saudações Pitagóricas
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
01 jun 2012, 15:13
jrodrigues Escreveu:Pois não. Já consegui resolver.
Obrigado pelas dicas e velocidade na resposta.
Se já conseguiu resolver partilhe resultados com os restantes, o fórum agradece...
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
02 jun 2012, 01:59
\(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n.2^{n}}\)
Série do tipo \(\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}\)
\(a_{n}= \frac{1}{n2^{n}}\)
\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |\)
\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{\frac{1}{n2^{n}}}{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n}.2^{1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1).2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{2n+2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |2+ \frac{2}{n} \right |\) = \(2\)
Para que valores esta série é simplesmente convergente e absolutamente convergente?
Série do tipo \(\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}\)
\(a_{n}= \frac{1}{n2^{n}}\)
\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |\)
\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{\frac{1}{n2^{n}}}{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1)2^{n}.2^{1}}{n2^{n}} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n+1).2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{2n+2}{n} \right |\) = \(\lim_{n \to \infty } \left |2+ \frac{2}{n} \right |\) = \(2\)
Para que valores esta série é simplesmente convergente e absolutamente convergente?
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
02 jun 2012, 10:33
A série não é do tipo \(\sum(-1)^n a_n\)
logo a série em apreço é absolutamente convergente no intervalo \(]-2,2[\) e divergente nos outros casos
Cumprimentos e obrigado pela contribuição
logo a série em apreço é absolutamente convergente no intervalo \(]-2,2[\) e divergente nos outros casos
Cumprimentos e obrigado pela contribuição
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
02 jun 2012, 16:41
João P. Ferreira Escreveu:A série não é do tipo \(\sum(-1)^n a_n\)
logo a série em apreço é absolutamente convergente no intervalo \(]-2,2[\) e divergente nos outros casos
Cumprimentos e obrigado pela contribuição
Mas nas soluções deste exercício diz que é absolutamente convergente para os valor x=\(]-2,2[\) e simplesmente convergente em x=\(\left \{ -2 \right \}\)
se \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\left |a_{n} \right |\) poderá a série ser simplesmente convergente?
Re: Raio de Convergencia de sum x^n / n.2^n
02 jun 2012, 19:50
Tem razão meu caro
Não tinha reparado nesse pequeno detalhe, mea culpa
\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)
Repare que quando \(x=-2\) ficamos com \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-2)^{n}}{n2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{1}{n}\)
Pelo critério de Leibniz como \(\lim\frac{1}{n}=0\) a série é simplesmente convergente para \(x=-2\)
Não tinha reparado nesse pequeno detalhe, mea culpa
\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n2^{n}}\)
Repare que quando \(x=-2\) ficamos com \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-2)^{n}}{n2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{1}{n}\)
Pelo critério de Leibniz como \(\lim\frac{1}{n}=0\) a série é simplesmente convergente para \(x=-2\)