Mostrar que: lim f(n+1)/f(n) = 1/3(1+∛(1/2(29+3√93))+∛(1/2(29-3√93))

[Tere]

Como resolver o problema:

Mostre que:

\(\lim \frac{f(n+1)}{f(n)} = \frac{1}{3}(1+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(29+3\sqrt{93})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(29-3\sqrt{93})})\)

Em que:
f(n)=f(n-1) + f(n-3)

e
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=2

[Sobolev]

Pode determinar exactamente a expressão de f(n), que é a solução de uma equação de diferenças, linear e homogénea de ordem 3. Para isso apenas precisa determinar as raízes do polinómio característico da equação, que é \(p(\lambda) = \lambda^3-\lambda^2-1\) (é daí que surgem os radicais na expressão do limite), escrever a solução geral da equação e depois aplicar as condições dadas para f(1), f(2) e f(3) para calcular todas as constantes. Finalmente, dispondo da expressão de f(n), facilmente calcula o limite proposto.