Calcule os limites limn!1(an) das seguintes sequências:

[marcoss]

an=\(\sqrt[n]{2^(n+2)+3^(n-2)}\)

Raiz enéssima = 2 elevado (n+2) + 3 elevado (n-2)
n para o infinito

[santhiago]

Dica :

Mostre que existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) e \(a,b > 0\) tais que se \(n \geq n_0\) então \(b \cdot 3^n \leq (a_n)^n \leq a \cdot 3^n\) .

[marcoss]

Não seria o casa de fazer os testes de convergência.

[santhiago]

Teorema do confronto aplicado a sequências .

A desigualdade \(b \cdot 3^n \leq (a_n)^n \leq a \cdot 3^n\) é equivalente a \(3 \cdot \sqrt[n]{b} \leq a_n \leq a \cdot 3 \cdot \sqrt[n]{a}\) .

Pois , \(a_n > 0\) e \(\therefore a_n^n \geq c^n , c > 0\) sse \(a_n^n - c^n \geq 0\) sse \((a_n - c) \sum_{k=0}^{n-1} a_n^k \cdot c^{n-1-k} \geq 0\) . Como \(c,a_n > 0\) então a soma é positiva e assim \(a_n \geq c\).

[João P. Ferreira]

an=\(\sqrt[n]{2^(n+2)+3^(n-2)}\)

Raiz enéssima = 2 elevado (n+2) + 3 elevado (n-2)
n para o infinito

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