Dúvidas Séries
23 nov 2011, 16:50
Boa tarde,
Estou a ter dificuldades em resolver estes três exercícios, alguém me pode ajudar?
Obrigado.
Abraço
NSilva
Estou a ter dificuldades em resolver estes três exercícios, alguém me pode ajudar?
Obrigado.
Abraço
NSilva
- Anexos
-
Re: Dúvidas Séries
24 nov 2011, 02:03
Meu caro, é recomendável que coloque um post por cada pergunta e não coloque num único post várias perguntas.
Se não qq dia colocam-nos aqui num único post um exame para resolvermos
Em relação à pergunta 6 posso dizer:
se \(\lim_{n\to\infty}na_n=a >0\) então é equivalente a
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=a>0\)
Então podemos afirmar pelo critério da comparação, como o limite dá um número finito maior que zero (a>0), que \(\sum a_n\) e \(\sum\frac{1}{n}\) têm a mesma natureza
Como se sabe que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) é divergente (Função zeta de Riemann para s=1; ou através do critério do integral)
Então, porque as duas séries têm a mesma natureza, a série \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) também será divergente
Cumprimentos e volte sempre (c uma pergunta por post
)
PS: recomendo a todos que usem LaTex. Vejam se puderem http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Commands
PS2: Quando puder respondo-lhe às outras perguntas
Se não qq dia colocam-nos aqui num único post um exame para resolvermos
Em relação à pergunta 6 posso dizer:
se \(\lim_{n\to\infty}na_n=a >0\) então é equivalente a
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=a>0\)
Então podemos afirmar pelo critério da comparação, como o limite dá um número finito maior que zero (a>0), que \(\sum a_n\) e \(\sum\frac{1}{n}\) têm a mesma natureza
Como se sabe que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) é divergente (Função zeta de Riemann para s=1; ou através do critério do integral)
Então, porque as duas séries têm a mesma natureza, a série \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) também será divergente
Cumprimentos e volte sempre (c uma pergunta por post
)PS: recomendo a todos que usem LaTex. Vejam se puderem http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Commands
PS2: Quando puder respondo-lhe às outras perguntas
Re: Dúvidas Séries
24 nov 2011, 03:04
Em relação à pergunta 5a, recomendo que leia o critério de Leibniz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_da_s%C3%A9rie_alternada
ou seja
Considerando a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+(-1)^{n+1}}\)
consideramos então essa série na forma de Leibniz, ou seja \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n.b_n\) em que \(b_n=\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}\)
Se provarmos que \(b_n\) é decrescente e o seu limite tende para zero então a série é convergente
Para provarmos que \(b_n\) é decrescente tem que se provar \(b_{n+1}-b_n<0\)
Ou seja
\(\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^{n+2}}-\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\)
\(=\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^n}-\frac{1}{n^2-(-1)^n}=\)
\(=\frac{n^2-(-1)^n-(n+1)^2)-(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)
\(=-\frac{2n+1+2(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)
\(=-\frac{c_n}{d_n\times e_n}\)
É fácil provar que quer \(c_n\), \(d_n\) e \(e_n\) são todas positivas para \(n\geq 1\), logo \(-\frac{c_n}{d_n\times e_n}<0\) e prova-se que \(b_n\) é decrescente
Basta agora apenas provar que \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)
é fácil provar que \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\frac{1}{\infty}=0\)
Assim a série é convergente
Para sabermos se a série é absolutamente ou simplesmente convergente basta calcular a natureza da série
\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)
Volte sempre
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_da_s%C3%A9rie_alternada
ou seja
Considerando a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+(-1)^{n+1}}\)
consideramos então essa série na forma de Leibniz, ou seja \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n.b_n\) em que \(b_n=\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}\)
Se provarmos que \(b_n\) é decrescente e o seu limite tende para zero então a série é convergente
Para provarmos que \(b_n\) é decrescente tem que se provar \(b_{n+1}-b_n<0\)
Ou seja
\(\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^{n+2}}-\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\)
\(=\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^n}-\frac{1}{n^2-(-1)^n}=\)
\(=\frac{n^2-(-1)^n-(n+1)^2)-(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)
\(=-\frac{2n+1+2(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)
\(=-\frac{c_n}{d_n\times e_n}\)
É fácil provar que quer \(c_n\), \(d_n\) e \(e_n\) são todas positivas para \(n\geq 1\), logo \(-\frac{c_n}{d_n\times e_n}<0\) e prova-se que \(b_n\) é decrescente
Basta agora apenas provar que \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)
é fácil provar que \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\frac{1}{\infty}=0\)
Assim a série é convergente
Para sabermos se a série é absolutamente ou simplesmente convergente basta calcular a natureza da série
\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)
Volte sempre
Re: Dúvidas Séries
24 nov 2011, 10:25
Bom dia,
Obrigado pela ajuda.
Vou analisar e tentar perceber.
Desde já peço desculpa pelas várias perguntas no mesmo post, é o que faz ser novato.
Abraço
NSilva
Obrigado pela ajuda.
Vou analisar e tentar perceber.
Desde já peço desculpa pelas várias perguntas no mesmo post, é o que faz ser novato.
Abraço
NSilva
Re: Dúvidas Séries
24 nov 2011, 16:18
caríssimo, respondo-lhe agora à pergunta 5b)
Utilizando o critério de Leibniz
\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n\)
Neste caso \(b_n=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}\)
é fácil comprovar que \(b_n\) é monótona decrescente pois o numerador vai diminuindo e o denominador vai crescendo quando \(n\to\infty\)
Assim basta calcular
\(\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1+0}{\infty}=0\)
Assim a série é convergente
Em relação à última pergunta terá de o colocar num post diferente
Volte sempre
Utilizando o critério de Leibniz
\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n\)
Neste caso \(b_n=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}\)
é fácil comprovar que \(b_n\) é monótona decrescente pois o numerador vai diminuindo e o denominador vai crescendo quando \(n\to\infty\)
Assim basta calcular
\(\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1+0}{\infty}=0\)
Assim a série é convergente
Em relação à última pergunta terá de o colocar num post diferente
Volte sempre