Limite de sequência com raíz n-ésima

[alfcorreia]

Pessoal, estou com dúvida na resolução do seguinte exercício:

\(\lim \sqrt[n]{a}=1\ ,\forall\ a>0\\ n \to \infty\)

A ideia é provar por definição o limite da sequência acima. Começo fazendo o cálculo da seguinte forma,

\(\forall\ \varepsilon> 0\ \exists\ N_\varepsilon:\ N> N_\varepsilon\Rightarrow \left | \sqrt[n]{a}-1 \right | <\varepsilon\)

Temos que,

\(\left | \sqrt[n]{a}-1 \right |< \varepsilon \Rightarrow\ ??\)

Infelizmente, travo logo no início do cálculo. Já tentei resolver de algumas formas que me eliminassem a raiz, mas talvez por falta de domínio da álgebra não consigo seguir com a operação. Se alguém puder ajudar, agradeço.

[Walter R]

\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\Rightarrow |\sqrt[n]{a}|-1<\varepsilon\Rightarrow |\sqrt[n]{a}|<\varepsilon+1\Rightarrow \sqrt[n]{a}<\varepsilon+1\Rightarrow a^{\frac{1}{n}}<\varepsilon+1\Rightarrow \frac{1}{n}\ln a<\ln (\varepsilon +1)\Rightarrow n>\frac{\ln a}{\ln (\varepsilon +1)}\)

[alfcorreia]

Amigo, agradeço, no entanto fiquei em dúvida com relaçåo a primeira implicação, se puder explicar, agradeço.

[Walter R]

Se é verdade que \(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\), então também é verdade que \(|\sqrt[n]{a}|-1<\varepsilon\), pois pela desigualdade triangular: \(|\sqrt[n]{a}|-|1|\le |\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\)

[Sobolev]

Só para complementar a resposta do Walter, para quaisquer \(x,y \in \mathbb{R}\) é sabido que \(| x -y | \ge ||x|-|y||\). No caso em discussão, teríamos

\(|\sqrt[n]{a} - 1| \ge | |\sqrt[n]{a}| - |1|| \ge \sqrt[n]{a} -1\)

Deste modo pode ver que a implicação usada pelo Walter, \(|\sqrt[n]{a}-1|\leq \varepsilon \Rightarrow \sqrt[n]{a} \leq \varepsilon +1\), é válida.

[alfcorreia]

Perfeito, amigos. Agradeço as respostas e a explicação. Foi de grande ajuda.