Essa pergunta sempre me intrigou,
ou seja, demonstrar que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer função exponencial
uma forma (presumo que hajam muitas mais) é considerar uma série e o
critério d'Alembert\(\sum \frac{a^n}{n!} \\\\ \\ pelo\ criterio\ d'Alembert\\\\ \lim\left|\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}}\right|= \lim\left|\frac{a.a^n.n!}{(n+1)n!.a^n)}\right|=\lim\left|\frac{a}{n+1}\right|=0<1\)
Como a série é convergente, conclui-se que obgrigatoriamente a sequência \(\frac{a^n}{n!}\) tende para zero, demonstrando assim o que pretendia através da definição de limite
Saudações