caso série de funções demonstração

[fabio_dias]

Boa tarde, estou a ter dificuldades em perceber em este problema de demonstração, alguém me pode dar algumas luzes?
Obrigado.

"Mostre que, se a série de funções \(\sum f(n)\) converge uniformemente num conjunto D então fn\(\rightarrow\)0 uniformemente em D."

[santhiago]

Veja que para todos pares índices p > n , vale a desigualdade \(|f_n(x)| \leq | \sum_{k=n}^{p} f_k(x) | = | \sum_{k=1}^{p} f_k(x) - f(x) + f(x)- \sum_{k=1}^{n-1} f_k(x) | \leq \sum_{k=1}^{p} f_k(x) - f(x) | + \sum_{k=1}^{n-1} f_k(x) - f(x) | , \forall x \in D\) . Basta utilizar a hipotese para concluir .

[Sobolev]

Santhiago,

A primeira desigualdade só vale se se tratar de funções positivas, o que não é dito. Certo?

[santhiago]

Tem toda razao ! Talvez possamos fazer p = n , neste caso a primeira desigualdade (falsa em geral ) torna se uma igualdade e a ultima desigualdade vem da desigualdade triangular .

Obrigado .

[Sobolev]

Dizer que a série converge uniformemente significa dizer que a sucessão das somas parciais, \(S_n(x)\), converge uniformemente para a soma da série. Como a convergência uniforme implica a convergência pontual, e o termo geral de uma série convergente deve ser um infinitésimo, é imediato concluir que \(\lim_{k \to \infty} f_k(x) = 0, \forall x \in D\), isto é, que a sucessão de funções converge pontualmente para zero. Da convergência uniforme da série retiramos que

\(\forall_{\varepsilon >0} \quad \exists_{p \in \mathbb{N}} \quad \forall_{x \in D}: n \ge p \Rightarrow |S_n(x) - S(x)|< \frac{\varepsilon}{2}\)

Assim, para qualquer \(\varepsilon > 0\) escolhido e tomando \(k>p\)

\(|f_k(x)| = |S_k(x) - S_{k-1}(x)| = |S_k(x) - S_{k-1}(x)-S(x)+S(x)| \leq |S_k(x)-S(x)|+|S_{k-1}(x)-S(x)| < \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)

O que demonstra a convergência uniforme de \(f_k\) para zero.