Mostre que lim f(x) = 1 usando séries de potências

[ramiro99]

Mostre que \(\lim_{\frac{ln(x)}{x-1}} = 1\)
usando séries de potências

[Rui Carpentier]

Calculo que queira mostrar que \(\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1\)?
Note que este limite, fazendo a mudança de variável \(x=1+t\), é equivalente a \(\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}\).
Como \(\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^n}{n}\), temos que \(\frac{\ln (1+t)}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{t^{n-1}}{n}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}-\cdots\). Logo \(\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}=1\).