Somatório para solucionar uma recorrência pelo método da iteração

[angeloghiotto]

Olá, Curso ciências da computação e não estou conseguindo resolver tal somatório:

http://i.snag.gy/FwnBe.jpg

resultado deve ser

http://i.snag.gy/lLXHo.jpg

segundo o wolphram dá com com o ultimo sinal trocado, mas não importa, não consigo chegar até esse resultado.

Alguém pode me ajudar?

[Sobolev]

\(\sum_{i=1}^{n-1} (n-i+1) = \sum_{i=1}^{n-1}(n+1) - \sum_{i=1}^{n-1} i = (n-1)(n+1) - \frac{(n-1) n}{2} = n^2-1-\frac{n^2}{2} +\frac{n}{2} = \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-1 = (n^2+n-2)/2\)

[angeloghiotto]

Desculpa, mas poderia ser mais detalhado, explicando quais leis / fórmulas usou?

Att;

[Sobolev]

Num primeiro passo escrevi o somatório de uma soma como a soma de vários somatórios, de facto

\(\sum_{i=1}^{n-1} (n-i+1) = \sum_{i=1}^{n-1} (n+1) - \sum_{i=1}^{n-1} i\)

A primeira parcela é a soma de (n-1) termos iguais, cada um com valor (n+1). Esta primeira parcela tem pois um valor de (n-1)(n+1).

Relativamente à segunda parcela, mostra-se facilmente por indução que a soma dos primeiros k naturais é dada por k(k+1)/2, pelo que basta usar essa fórmula com k=n-1.