[Séries] A Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explicita?

[Rilke]

Alguém sabe se a Soma Parcial abaixo tem uma fórmula explícita?

\(S_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{(1+ia)}\)

\(a\) é uma constante maior que zero.

Agradeço qualquer observação.

[João P. Ferreira]

Sim, é possível obter uma fórmula explícita, mas tem de entender a função digama

e mais concretamente sabe-se que

\(\Psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{i=1}^n \frac{2}{2 i-1}\)



Veja ainda

http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html

[Rilke]

Prezado João P. Ferreira,
muito obrigado pela indicação.

Tive que procurar um pouco mas consegui e, embora a solução seja mais complexa do que eu gostaria, finaliza a questão.

\(S_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{ai+1} = \frac{\Psi^{(0)} (n+\frac{1}{a}+1) - \Psi^{(0)} (1+\frac{1}{a})} {a}\)

Onde \(\Psi^{(n)}\) é a n-ésima derivada da função Digamma


Atenciosamente,
Rilke

[João P. Ferreira]

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