Fórum de Matemática
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Como resolver o problema:

Mostre que:
\(\lim \frac{f(n+1)}{f(n)} = \frac{1}{3}(1+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(29+3\sqrt{93})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(29-3\sqrt{93})})\)

em
f(n) = f(n-1) + f(n-3)

f(1)=1
f(2)=1
f(3)=2

Vou tentar resolver da maneira mais simples (ou mais curta) embora não seja a maneira mais elementar (envolve alguns resultados não básicos).

Qualquer* sucessão do tipo da de Fibonacci, \(f(n+k)=a_{k-1}f(n+k-1)+\cdots +a_0f(n)\), pode ser dada de forma fechada por \(f(n)=b_1r_1^n+\cdots +b_kr_k^n\) onde \(r_1, \dots ,r_k\) são as raízes (complexas) de \(x^k=a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_0\) e os \(b_i's\) são constantes (complexas). Assim sendo, a sucessão \(\frac{f(n+1)}{f(n)}\) é convergente e converge para a raíz de maior módulo cujo o coeficiente \(b_i\) é não nulo (caso seja única)**.

Portanto tudo o que há a ver é que \(\frac{1}{3}\left(1+\sqrt[3]{\frac{29+3\sqrt{93}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{29-3\sqrt{93}}{2}}\right)\) é a raíz de \(x^3=x^2+1\) nessas condições. Ver que é raíz é só fazer as contas. Para ver que é a raíz de maior módulo basta ver que é a única raíz real (é só estudar a função \(p(x)=x^3-x^2-1\)) e as outras duas raízes complexas (que terão de ser conjugadas pois o polinómio é real) são menores em módulo (basta observar que a raíz real é maior que um e que o produto das raízes é o coeficiente constante do polinómio que é 1).

*Pelo menos nos casos, como o do exercício, em que as raízes são todas distintas. Se houver raízes múltiplas não estou tão certo que tal seja verdade. Pesquise por fórmula de Binet.

**Se uma raíz \(r_i\) é a única com maior valor absoluto então o termo \(b_ir_i^n\) é proponderante sobre todos os outros, logo \(\lim\frac{f(n+1)}{f(n)}=\lim\frac{b_ir_i^{n+1}}{b_ir_i^n}=r_i\).