Raio de Convergencia de sum n.(3x-2)^n-1

[jrodrigues]

Calcular o Raio de Convergência da seguinte série.

\(\sum_{n=1}^{\infty} n(3x-2)^{n-1}\)

Solução R=1, Absolutamente convergente em ] 1/3 , 1 [

A grande dificuldade está em descobrir o termo geral.

Editado pela última vez por jrodrigues em 31 mai 2012, 19:27, num total de 2 vezes.

[jrodrigues]

\(\sum_{n=1}^{\infty} n(3x-2)^{n-1}\) =

Mudança de variavel \(n-1=k\)

\(\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(3x-2)^{k}\)


\(a_{n}=k+1\)

\(R= \lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |\) =

\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{k+1}{k+2} \right |\) =

\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{(n-1)+1}{(n-1)+2} \right |\) =

\(\lim_{n \to \infty } \left |\frac{n}{n+1} \right |\) = \(1\)

Será este o raciocínio?
O Raio de Convergência será em torno de ???

[josesousa]

Tal como está não é série de potências como a definimos. Queremos termos do estilo

\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\)

Neste caso

\((n+1)(3x-2)^n=(n+1).3^n(x-\frac{2}{3})^n\)

assim

\(a_n = (n+1).3^n\)

e

\(lim_{n \to \infty}a_n/a_{n+1} = lim_{n \to \infty}(n+1).3^n/((n+2)3^{n+1}) =\)
\(lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n+2}.\frac{1}{3} = 1/3\)

Logo o raio de convergência é de 1/3.
Mas em torno de que ponto? Como a série de potências é da forma (x-a)^n, ou seja, formada em torno do ponto a (neste caso 2/3), a região de convergência será:

\(\] a-R, a+R \[ = \] 1/3, 1 \[\)

Resumindo, primeiro pôr a série na forma clássica de série de potências, escrevendo-o termo geral na forma
\(a_n(x-a)^n\)

Depois usar o limite atrás descrito para calcular o raio de convergência.

A região de convergência é dada por \(\] a-R, a+R \[\)

[jrodrigues]

Tal como está não é série de potências como a definimos. Queremos termos do estilo

\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\)

Neste caso

\((n+1)(3x-2)^n=(n+1).3^n(x-\frac{2}{3})^n\)

Houve uma mudança de variável para chegar a \((n+1)(3x-2)^n\) certo?

[josesousa]

Sim, usei o passo que tinhas feito antes.

Saudações pitagóricas!:)