Olá
Para sabermos se é convergente, como é uma série alternada, precisamos de calcular o seguinte limite
\(\lim \frac{1}{ln(n+1)}=\frac{1}{\infty}=0\)
Então a série é convergente
Para sabermos se é absolutamente ou simplesmente convergente, precisamos de saber se a série
\(\sum_{n=1}^{\infty }\left| (-1)^{n} \frac{1}{ln(n+1)}\right|=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{ln(n+1)}\)
é convergente ou não
Podemos usar então o
2º critério da comparação para tentar calcular a natureza da série
Assim comparemos com a série \(\sum\frac{1}{n}\) que sabemos que é divergente
Calculemos então o limite
\(\lim\frac{\frac{1}{ln(n+1)}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n}{ln(n+1)}=+\infty\)
Então a série \(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{ln(n+1)}\) é divergente o que significa que a série do enunciado é apenas simplesmente convergente
Cumprimentos