Fórum de Matemática
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Preciso de ajuda no seguinte exercicio...
1. Considere a sucessão de termo geral :

un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n


a)Considere a subsucessão u2^n. Determine os 3 primeiros termos da subsucessão.
b)Utilizando o Principio de Indução Matemática mostre que u2^n ≥ 1 + n/2


Obrigado

caro amigo

não insista no mesmo erro. A sua pergunta foi apagado porque não cumpria as regras da casa

se temos trabalho a resolver, demonstre trabalho em postar

já percebi que a sucessão é \(u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k}\)

pode colocar a expressão da subsucessão em LaTex pois não compreendo?

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Claro ainda não tinha lido as regras senão já o tinha feito.

A subsucessão é : \(u2^n >= 1 + (n/2)\)

Obrigado pelo aviso e pela ajuda

continuo sem perceber \(u2^n\)

será \(u_{2^n}\) ???

é que faz toda a diferença. O primeiro é uma multiplicação, o segundo é o indíce da sucessão!

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João Pimentel Ferreira
 
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Primeiro temos que mostrar que a propriedade é verdadeira quando n=1:

\(u_{2^1} = u_2 = 1 +\frac 12 = \frac 32 \ge \frac 32\)

Seguidamente devemos mostrar que se a propriedade e verificada para um certo n também será verificada para (n+1):

\(u_{2^{n+1}} = u_{2^n} \quad+\quad \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k}\quad \ge (1 + \frac{n}{2}) + 2^{-n-1} 2^{n}= 1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2} = 1+\frac{n+1}{\mathrm{2}}\)

Na majoração usei a hipótese de indução (a propriedade é verificada para n) e minorei a soma colocando todas as parcelas iguais à menor delas (a última).