Calcular a Soma da Série

[faassf]

Boa noite

Podem-me ajudar na resolução do ponto 2 deste exercicio de exame:

Seja f a função definida em R por \(f(x)= x^{2}e^{-x}\)

1) Mostrar que \(\sum_{n=0}^{+oo}\frac{-1^{n}}{n!} x^{n+2}\) (Esta consegui resolver)

2) Com o resultado obtido no ponto anterior calcule a soma da serie \(\sum_{n=0}^{+oo}\frac{2^{n+2}}{n!}\)

Obrigada

[Man Utd]

\(\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{2^{n+2}}{n!}=4 \times \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{2^n}{n!}=4 \times e^2=4e^2\)



Notando que se \(\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n}}{n!}=e^x\), fazendo x=2, obtemos : \(\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{2^{n}}{n!}=e^2\) .

[faassf]

Poderão ajudar-me em mais um exercicio deste tipo?

Mostrou-se que para \(f(x)=x^{3}e^{3x}\) é verdadeiro que \(f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{3^{n}}{n!}x^{n+3}\)

e com base nisto pede-se a soma da série \(f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{3^{n}}{2^{n+3}n!}\)

Numa resolução que tenho, o professor pôs:

Fazendo \(x=\frac{1}{2}\) substitui-se na expressão \(f(x)=x^{3}e^{3x}\) e consequentemente no somatorio correspondente. A minha duvida é porquê \(x=\frac{1}{2}\)? Onde foi ele buscar este valor?

Obrigado mais uma vez

[Man Utd]

Olá :D


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att.