Derivada de Série de Potência - Resposta não bate

[magicayro]

Questão aparentemente simples, mas minha solução não bate com o gabarito.

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A resposta que eu encontrei foi \(\frac{m^{2}}{1-m}\) . Nem mesmo aparece nas alternativas
Eis meus cálculos:

screen.png (305.89 KiB) Visualizado 3644 vezes

Entretanto o gabarito indica a alternativa E.

Se alguém puder ajudar, indicando onde errei, agradeço muito!

[josesousa]

Veja o que escreveu na sua resolução como f'(1). Tem lá a meio a hipótese E. Depois enganou-se nas contas e perdeu o caminho. Mas antes já tinha chegado à resposta

[magicayro]

Olá José Sousa!
Obrigado pela resposta!
Mas na verdade eu não tinha chegado à resolução. Eu tinha encontrado a série \(\sum_{2}^{\infty }m^{k}\) (índice "2") e portanto não corresponde à solução m/(1-m). Por isso eu precisei continuar os cálculos e transladar o índice de "2" para "1", para que dessa forma pudesse substituir a série de potência \(\sum_{1}^{\infty }m^{k}\) (com índice "1") por m/(m-1). Mas ao fazer essa modificação eu precisei subtrair o primeiro termo da série "mˆ1". Chegando, com isso à resposta que eu encontrei (mˆ2)/(1-m), que não corresponde à resposta certa

[magicayro]

Alguém pode nos ajudar, pleeeease?

[santhiago]

Se me permitem participar deste tópico . Cara magicayro , note que

\(f'(x) = \sum_{k \geq 1} m^k x^{k-1} = \sum_{k \geq 1} m m^{k-1} x^{k-1} = \sum_{k \geq 1} m (mx)^{k-1}\) que é uma série geométrica .Em particular para \(x = 1\) ,

\(f'(1) = \sum_{k \geq 1} m (m)^{k-1} = ...\) (Qual a resposta?)

[guilhermeP]

Entendi. Fez a derivação, rearranjou, aplica o valor de x=1 como pedido e resolve pelas formulas da PG.

Agora, alguém pode explicar porque rearranjar? dava pra resolver do mesmo jeito não?

E esses intervalos dados no enunciado? m ∊ ]0,1[ ? e o intervalo do x? Qual a importância?

Valeu.

[magicayro]

santhiago.....
Ao fazer a derivacao devemos mudar o indice do somatorio de 1 para 2 nao?