Sucessão Convergente e cálculo de respectivo Limite

[EREGON]

Olá,

gostaria de obter ajuda para a resolução deste exercício. Quais os passos fundamentais que deverei dar?

Anexos

Limite Sucessão.PNG (5.35 KiB) Visualizado 4859 vezes

[Sobolev]

Se calcular os primeiros termos da sucessão poderá observar que para \(n \ge 2\) se tem \(x_n = 2^{\frac{n^2-1}{n^2}}\). Tendo a expressão já consegue calcular o limite?

[EREGON]

Olá,

não consigo perceber como chegou a essa expressão.

Obrigado

[Sobolev]

\(x_1=\sqrt{2}
x_2=\sqrt{2x_1}=\sqrt{2 \sqrt{2}} = 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{2^2-1}{2^2}}
x_3=\sqrt{2 x_2} = \sqrt{2 2^{\frac{3}{4}} }= \cdots = 2^{7/8}=2^{\frac{2^3-1}{2^3}}
x_4 = \sqrt{2 x_3} = \cdots = 2^{15/16}=2^{\frac{2^4-1}{2^4}}
\cdots\)

[EREGON]

Olá,

estive a calcular o limite e cheguei à conclusão de que é igual a 2. Está correto?

Coloquei aquele 2 fora do limite e resolvi aquele expressão. Basicamente dividi o numerador e denominador por n^2.

[Sobolev]

Sim, é igual a 2.

\(\lim 2^{\frac{n^2-1}{n^2}} = 2^{\lim \frac{n^2-1}{n^2}} = 2^1 = {2}\)

[EREGON]

Olá,

há uma coisa que nunca cheguei a perceber neste exercicío que é, como provamos que esta serie é convergente. Creio que numa serie geométrica, só é convergente caso o módulo de r seja < 1. Ora, nesta serie, o r não é igual a 2^(1/4)?

Obrigado.

[Sobolev]

Série? Mas que série? Este exercício é apenas sobre sucessões.

[EREGON]

sim, sucessão.

[Sobolev]

Está a confundir com um outro aspecto. Realmente, no caso da sucessão \(x_n = c^n\), ela apenas é convergente de |c|<1 (ou se c=1). Mas o nosso caso é diferente, porque o expoente não tende para infinito.