Série

[danjr5]

Soma da série \(\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{3}{(n + 1)(n + 2)}\)

Editado pela última vez por danjr5 em 30 set 2012, 18:36, num total de 1 vez.
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[Rui Carpentier]

\(\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}\) onde \(A\) e \(B\) são constantes tais que \({B}{(n+1)}+{A}{(n+2)}=3\) para qualquer \(n\). É fácil ver então que \(A=3\) e \(B=-3\).
Portanto \(\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\).

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right)=\lim \left[\left(\frac{3}{1}-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}\right)+\left(\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right)\right]=\lim \left[\frac{3}{1}+\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{3}{3}+\cdots +\frac{3}{n}\right)+\left(-\frac{3}{n+1}+\frac{3}{n+1}\right)-\frac{3}{n+2}\right]=\lim\left( 3-\frac{3}{n+2}\right)=3\)

[Mellissa]

É divergente ou convergente? A soma resulta em 3?

[Mellissa]

\(\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}\) onde \(A\) e \(B\) são constantes tais que \({B}{(n+1)}+{A}{(n+2)}=3\) para qualquer \(n\). É fácil ver então que \(A=3\) e \(B=-3\).
Portanto \(\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\).

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right)=\lim \left[\left(\frac{3}{1}-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}\right)+\left(\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right)\right]=\lim \left[\frac{3}{1}+\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{3}{3}+\cdots +\frac{3}{n}\right)+\left(-\frac{3}{n+1}+\frac{3}{n+1}\right)-\frac{3}{n+2}\right]=\lim\left( 3-\frac{3}{n+2}\right)=3\)

É divergente ou convergente? O resultado é 3?

[Rui Carpentier]

É divergente ou convergente?

É convergente.

A soma resulta em 3?

Sim.

[Mellissa]

É divergente ou convergente?

É convergente.

A soma resulta em 3?

Sim.

Obrigada!