Mostre que a série é convergente e calcule a soma

[ayrton98]

Boas pessoal, gostaria de saber se me conseguem ajudar neste exercício:

Mostre que a série \(\sum_{n=3}^{\infty } \left ( \frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2} \right )\) é convergente e calcule a soma.


By the way esta é uma série de Mengoli ?

Obrigado.

[Sobolev]

sim, é uma série de Mengoli. Se designar \(u_n = \frac{n}{n+1}\) terá

\(\sum_{n=3}^{+\infty} (u_n - u_{n+1}) = (u_3-u_4)+(u_4-u_5)+\cdots+ (u_{n-1}-u_n) + \cdots = u_3 - \lim u_n = \frac 34 -1 = -\frac 14\)