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Boa tarde,

Alguém me pode ajudar a resolver a série relativamente á sua natureza (divergente, simplesmente convergente ou absolutamente convergente)


Obrigado
Abraço
NSilva

Meu caro, neste caso usaremos o segundo critério da comparação (aquele que usa os limites) para calcular a natureza de:

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\)

Comparemos com a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) que sabemos que é divergente

Assim, façamos:

\(\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{tg(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\)

Podemos fazer uma substituição \(\frac{1}{n^2}=k\) e se n tende para infinito k tenderá para zero, assim ficamos com:

\(\lim_{k \to 0}\frac{tg(k)}{k}=\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}, x \in \Re\)

Continuando:

\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}=Ind.\)

Aplicando a regra de Cauchy

\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1\)

Como o limite dá um número finito diferente de zero, ou seja \(0<1<\infty\) e porque comparámos com uma série divergente, esta série é divergente

Volte sempre meu caro

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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