como provar que esta sequencia é decrescente?

[Walter R]

Como posso provar que \(x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}\) é decrescente?

[João P. Ferreira]

Boas

pense que se \(\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\) então a sucessão é decrescente

Repare que se uma fração for menor que um, o de cima é sempre menor que o debaixo (em módulo)

assim, com esta fórmula prova que o termo da frente \(u_{n+1}\) é sempre menor que o termo presente \(u_n\)

se não der por esta forma tente achar \(x_1\) e depois achar o \(\lim u_n\)

consegue avançar???

[Sobolev]

A segunda alternativa do João não é viável... A análise da monotonia da sucessão não está dependente da existência do limite, além que que a condição \(x_{n+1}< x_n\) deve ser verificada para todos os valores de n, e não somente a partir de certa ordem.

A primeira alternativa (a definição) não falha... podemos é ter mais ou menos dificuldade nas continhas.

[João P. Ferreira]

A segunda alternativa do João não é viável... A análise da monotonia da sucessão não está dependente da existência do limite, além que que a condição \(x_{n+1}< x_n\) deve ser verificada para todos os valores de n, e não somente a partir de certa ordem.

A primeira alternativa (a definição) não falha... podemos é ter mais ou menos dificuldade nas continhas.

Muito obrigado pelo reparo caro Sobolev

Saudações pitagóricas