Serie de Taylor com f cosseno de x centrada em um ponto dado

[LuizMontanha]

Encontre a série de Taylor, para f(x) = cos x , centrada em x = ∏/6 .

f(x) = cos x
f(∏/6) = cos (∏/6) = (√3/2)
f'(x) = - sen x
f'(∏/6) = - sen (∏/6) = (-1/2)
f''(x) = - cos x
f''(∏/6) = - cos (∏/6) = -(√3/2)
f'''(x) = sen x
f'''(∏/6) = sen (∏/6) = (1/2)

f(x) = f(x) + (f'(x)(X-x)¹/1!) + (f''(x)(X-x)²/2!) + ... + (f^n(x)(X-x)^n/n!)
cos (x) = (√3/2) - ((1/2)(X-∏/6)^1)1!) - (√3/2)(X-∏/6)^2)2!) + ((1/2)(X-∏/6)^3)3!) + ...

∞
Quero saber o somatório ∑ (-1)^n(??(X-∏/6)^??/n!)
n=0

Queria saber a resposta final e se está parcialmente certo isso aí...

[LuizMontanha]

Melhorando ai o somatorio que eu quero saber dessa função;
\(\sum_{n=0} (-1)^n \frac{\sqrt{3}(x-\frac{\pi}{6})^n)}{n!}\)

[pedrodaniel10]

A série de taylor centrada no ponto \(x_0\) é dado por:
\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

\(f(\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6})
f'(\frac{\pi}{6})=- \sin (\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2})
f''(\frac{\pi}{6})=- \cos (\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6} + \pi) = \cos (\frac{\pi}{6} + 2 \cdot \frac{\pi}{2})
f'''(\frac{\pi}{6})= \sin (\frac{\pi}{6})= \cos (\frac{\pi}{3})=\cos (-\frac{\pi}{3})=\cos (\frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{2})\)

Pelo que, para a série de taylor de cos(x) centrada em pi/6:

\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos (\frac{\pi}{6} + n \cdot \frac{\pi}{2})}{n!}(x-\frac{\pi}{6})^n\)

[LuizMontanha]

A série de taylor centrada no ponto \(x_0\) é dado por:
\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)

\(f(\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6})
f'(\frac{\pi}{6})=- \sin (\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2})
f''(\frac{\pi}{6})=- \cos (\frac{\pi}{6})=\cos (\frac{\pi}{6} + \pi) = \cos (\frac{\pi}{6} + 2 \cdot \frac{\pi}{2})
f'''(\frac{\pi}{6})= \sin (\frac{\pi}{6})= \cos (\frac{\pi}{3})=\cos (-\frac{\pi}{3})=\cos (\frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{2})\)

Pelo que, para a série de taylor de cos(x) centrada em pi/6:

\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos (\frac{\pi}{6} + n \cdot \frac{\pi}{2})}{n!}(x-\frac{\pi}{6})^n\)

Porque nessa parte você somou o \cos (\frac{\pi}{6} + com o \frac{\pi}{2}) ?

[pedrodaniel10]

Eu tentei devolver os valores sucessivos de \(f^{(n)}(\frac{\pi}{6})\) de acordo com o n.