Determine o raio e o domínio de convergência da série de potências
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| Autor: | miguel.silva [ 14 dez 2015, 20:14 ] | ||
| Título da Pergunta: | raio e dominio de convergencia | ||
Determine o raio e o domínio de convergência da série de potências Obrigado
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| Autor: | Sobolev [ 14 dez 2015, 20:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: raio e dominio de convergencia |
Quando tem uma série de potências do tipo \(\sum a_n (x-a)^n\), se existir o limite \(R=\lim \frac{a_n}{a_{n+1}}\), a mesma é absolutamente convergente no intervalo \(]a-R, a+R[\). Neste caso concreto, temos \(a = 2\) e \(a_n =\frac 1n\), pelo que \(R=\lim \frac{1/n}{1/(n+1)} = 1\). A série é absolutamente convergente no intervalo \(]2-1, 2+1[ = ]1,3[\). Poderá também investigar a convergência na fronteira do domínio de convergência absoluta. No ponto x=3 obtemos a série harmónica, que é divergente. já no ponto x=1 obtemos a séria harmónica alternada, que é convergente. A conclusão final é que: 1. A série é absolutamente convergente do intervalo ]1,3[. 2. A série é divergente em \(]-\infty, 1[ \cup [3, +\infty[\) 3. A série é simplesmente convergente em x=1. |
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