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| raio e dominio de convergencia desta serie de potencias https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=10124 |
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| Autor: | Pedro Antunes [ 14 dez 2015, 20:56 ] | ||
| Título da Pergunta: | raio e dominio de convergencia desta serie de potencias | ||
Obrigado!
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 15 dez 2015, 02:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: raio e dominio de convergencia desta serie de potencias |
Se\(\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\), e se existe \(\lim \frac{\left | a_n \right |}{\left | a_{n+1} \right |}\), então: Para \(a_n=\frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\): \(R=\lim \frac{\left | a_n \right |}{\left | a_{n+1} \right |}=\lim \frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\cdot \frac{2+\frac{1}{n+2}}{1}=\frac{2}{2}=1\) Sabe-se então que a série é convergente para \(x\in ]-1,1[\) e divergente para \(x\in ]-\infty,-1[\cup ]1,+\infty\) Para x=1podemos utilizar o critério de comparação no limite \(\lim \frac{\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n+1}}=\lim \frac{1}{2n+\frac{n}{n+1}}=0\) Logo a série para x=1 diverge. Para x=-1, pelo mesmo critério também vai divergir. |
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