Fórum de Matemática
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podem me ajudar a resolver a seguinte equacao ?

x x x x
det 1 1 x x =0
x 0 1 x
1 x 1 x

\(\begin{vmatrix} x & x & x & x\\ 1 & 1 & x & x\\ x & 0 & 1 & x\\ 1 & x & 1 & x \end{vmatrix}\) = 0

a₁₁ = (-1)¹⁺¹ . \(\begin{vmatrix} 1 & x & x\\ 0 & 1 & x\\ x & 1 & x \end{vmatrix}\)
a₁₁ = (-1)² . (x³-x²+x)

a₁₂ = (-1)¹⁺² . \(\begin{vmatrix} 1 & x & x\\ x & 1 & x\\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}\)
a₁₂ = (-1)³ . (-x³+2x²-2x)

a₁₃ = (-1)¹⁺³ . \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & x\\ x & 0 & x\\ 1 & x & x \end{vmatrix}\)
a₁₃ = (-1)⁴ . (x³-2x²+x)

a₁₄ = (-1)¹⁺⁴ . \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & x\\ x & 0 & 1\\ 1 & x & 1 \end{vmatrix}\)
a₁₄ = (-1)⁵ . (x³-2x+1)

a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=0
(x³-x²+x)-(-x³+2x²-2x)+(x³-2x²+x)-(x³-2x+1)=0
2x³-5x²+6x+1=0

Pelo Teoema das raízes possíveis, encontramos uma das raízes igual a -1:
a_n: divisores de 1 = +/- 1
a₀: divisores de 2 = +/- 1 e +/- 2

, e consequentemente, aplicando Briot-Ruffini encontraremos 2 raízes imaginárias \(\Delta = \sqrt{-x}\) que não satisfazem a equação,
logo,
x = -1

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

a minha questao aqui é como calcular essas raizes, nao seria mais facil usar o metodo de eliminaçao de gauss juntamente com laplace ?

Olá, bom dia pessoal!

Para encontrar as raízes do polinomio de grau 3 basta aplicar as relações de Girard.

Veja que \(x=0\) e \(x=1\) são claramente soluções, já que a matriz fica com linhas repetidas. Vejamos se existem outras... Realmente a eliminação de Gauss é a forma mais conveniente e evita a resolução de equações polinomiais de grau 3.

\(\left| \begin{array}{cccc} x & x & x & x\\ 1 & 1 & x & x \\ x & 0 & 1 & x \\ 1 & x & 1 & x \end{array}\right| = \left| \begin{array}{cccc} x & x & x & x\\ 0 & 0 & x-1 & x-1 \\ 0 & -x & 1-x & 0 \\ 0 & x-1 & 0 & x-1 \end{array}\right| = x \left|\begin{array}{ccc} 0 & x-1 & x-1\\-x & 1-x & 0 \\ x-1 & 0 & x-1\end{array}\right|= x \left(-(x-1)(-x(x-1))+(x-1)(-(1-x)(x-1)) \right) = x(x-1)^2(x+x-1)=x(x-1)^2(2x-1)\)

Assim podemos ver que, para além das soluções inicialmente apontadas, temos ainda \(x=1/2\).