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| Prove, por definição, que a sequência (An) converge para o limite L https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=10541 |
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| Autor: | NiGoRi [ 02 mar 2016, 02:05 ] |
| Título da Pergunta: | Prove, por definição, que a sequência (An) converge para o limite L |
Preciso de ajuda nesta questão: Prove, por definição, que a sequência \((a_{n})\) converge para o limite L: \((a_{n})=\frac{n}{2n+1}\) converge para L=1/2 Obrigado. NiGoRi |
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| Autor: | Sobolev [ 02 mar 2016, 18:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove, por definição, que a sequência (An) converge para o limite L [resolvida] |
\(\lim a_n = \frac 12 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists p : n \ge p \Rightarrow |a_n - \frac 12| < \varepsilon\) Trata-se então de verificar se para qualquer \(\varepsilon>0\) dado é possível encontrar uma ordem p, a partir da qual se tem a desigualdade indicada... Ora, \(\left| \frac{n}{2n+1}-\frac 12\right| = \frac{1}{4n+2}\), pelo que queremos ver a partir de que valor de n se tem \(\frac{1}{4n+2}< \varepsilon \Leftrightarrow 4n+2 > \frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n > \frac{1/\varepsilon -2}{4}\) Assim, podemos escolher \(p\) como sendo o menor natural maior que \(\frac{1/\varepsilon -2}{4}\), o que conclui a demonstração (para cada \(\varepsilon\) conseguimos indicar um \(p\)). |
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