Fórum de Matemática
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Amigos do Fórum de Matemática.
Preciso da ajuda de vocês para resolver esta questão.

Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \((S_{n})\), e obtenha uma fórmula para \(S_{n}\) em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma:

\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}\)

Grato.

RIBER

Comece por notar que notar que

\(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac 14 \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\right)=
\frac 14 \left( (\frac 11 - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9}-\frac{1}{13}) + \cdots + \right) = \frac 14 \left(1 -\lim \frac{1}{4n+1}\right) = \frac 14\)

(Trata-se de uma série de Mengoli)

Sobolev,

Desculpa se minha pergunta é muito absurda, mas os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais, onde estão? Essa série é convergente ou divergente?

No enunciado apenas pedem para calcular as primeiras quatro somas parciais de modo a que se perceba qual vai ser a fórmula para \(S_n\)... pode encontrar essas somas na segunda linha do meu post anterior:

\(S_1 = \frac 14 (\frac 11 - \frac 15)
S_2 = \frac 14 ((\frac 11 - \frac 15)+(\frac 15 - \frac 19)) = \frac 14 (1- \frac 19)
S_3 = S_2 + \frac 14 (\frac 19 - \frac{1}{13}) = \frac 14 - \frac{1}{13}
S_4 = S_3 + \frac 14 (\frac{1}{13} - \frac{1}{17}) = \frac 14 (1- \frac{1}{17})
\vdots
S_n = \frac 14 (1- \frac{1}{4n+1})\)

Ora, tendo agora expressão de \(S_n\) podemos ver que \(\lim S_n = \frac 14\). Como uma série se diz convergente justamente se a sucessão das somas parcias for convergente, concluimos ue esta série é convergente (e que a sua soma é 1/4).