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| Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais...e obtenha uma fórmula... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=10542 |
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| Autor: | Riber [ 02 mar 2016, 02:14 ] |
| Título da Pergunta: | Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais...e obtenha uma fórmula... |
Amigos do Fórum de Matemática. Preciso da ajuda de vocês para resolver esta questão. Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \((S_{n})\), e obtenha uma fórmula para \(S_{n}\) em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma: \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}\) Grato.  RIBER
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| Autor: | Sobolev [ 02 mar 2016, 18:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais...e obtenha uma fórmula... |
Comece por notar que notar que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac 14 \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\right)= \frac 14 \left( (\frac 11 - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9}-\frac{1}{13}) + \cdots + \right) = \frac 14 \left(1 -\lim \frac{1}{4n+1}\right) = \frac 14\) (Trata-se de uma série de Mengoli) |
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| Autor: | Riber [ 03 mar 2016, 00:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais...e obtenha uma fórmula... |
Sobolev, Desculpa se minha pergunta é muito absurda, mas os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais, onde estão? Essa série é convergente ou divergente?
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| Autor: | Sobolev [ 03 mar 2016, 09:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais...e obtenha uma fórmula... [resolvida] |
No enunciado apenas pedem para calcular as primeiras quatro somas parciais de modo a que se perceba qual vai ser a fórmula para \(S_n\)... pode encontrar essas somas na segunda linha do meu post anterior: \(S_1 = \frac 14 (\frac 11 - \frac 15) S_2 = \frac 14 ((\frac 11 - \frac 15)+(\frac 15 - \frac 19)) = \frac 14 (1- \frac 19) S_3 = S_2 + \frac 14 (\frac 19 - \frac{1}{13}) = \frac 14 - \frac{1}{13} S_4 = S_3 + \frac 14 (\frac{1}{13} - \frac{1}{17}) = \frac 14 (1- \frac{1}{17}) \vdots S_n = \frac 14 (1- \frac{1}{4n+1})\) Ora, tendo agora expressão de \(S_n\) podemos ver que \(\lim S_n = \frac 14\). Como uma série se diz convergente justamente se a sucessão das somas parcias for convergente, concluimos ue esta série é convergente (e que a sua soma é 1/4). |
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