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| Sucessão/sequência com recursividade https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=1065 |
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| Autor: | luisaM [ 21 nov 2012, 11:09 ] | ||
| Título da Pergunta: | Sucessão/sequência com recursividade | ||
Pode ajudar por favor
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 nov 2012, 13:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que a sucessão |
\(x_n+\frac{1}{x_n}\geq 2 \Leftrightarrow x_n^2+1\geq 2x_n\Leftrightarrow x_n^2-2x_n+1\geq 0\Leftrightarrow (x_n-1)^2\geq 0\). Portanto ficamos a saber que \(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\). Daqui facilmente se deduz que \((x_n)\) é decrescente (\(x_{n}\geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x_n}\leq x_n\) logo \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\leq x_n\)). Sendo \((x_n)\) decrescente e minorada (\(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\)) temos que \((x_n)\) é convergente (tem limite). Seja \(L\) o limite de \((x_n)\) então: \(L=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\lim \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)=\frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)\) donde tiramos que \(L=1/L\) logo \(L=1\) (\(L\) não pode ser -1 pois \(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\)). |
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| Autor: | henryrod [ 22 nov 2012, 18:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que a sucessão |
Esta questão pode ser resolvida sem a sugestão dada? Por exemplo não se pode afirmar que ela é convergente desta forma: \(x_{n+1}-x_n\geq 0\) ? Isto só se utiliza para a monotonia? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 nov 2012, 21:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que a sucessão |
henryrod Escreveu: Esta questão pode ser resolvida sem a sugestão dada? Por exemplo não se pode afirmar que ela é convergente desta forma: \(x_{n+1}-x_n\geq 0\) ? Isto só se utiliza para a monotonia? Não sei se percebi bem a sua questão. Em geral uma sucessão dada por recorrência não é necessariamente convergente, por exemplo \(x_{n+1}=-x_n\) com \(x_0=1\) não é convergente nem monótona (é fácil ver que \(x_n=(-1)^n\)). Assim se quisermos calcular o limite de uma sucessão definida por recorrência \(x_{n+1}=f(x_n)\) através do método do ponto fixo: \(L=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\lim f(x_n)=f(L)\) só pode ser feito após demonstrar-se que a sucessão \((x_n)\) é convergente. Por exemplo, se o método fosse aplicado à sucessão \(x_{n+1}=-x_n\) com \(x_0=1\) teríamos \(L=-L\) logo o limite seria 0 mas a sucessão não é convergente. O mesmo acontece com a sucessão \(x_{n+1}=2x_n+1\) com \(x_0=0\) que na verdade tende para infinito mas pelo método do ponto fixo o limite seria -1. Por isso é que temos de demonstrar a convergência da sucessão por métodos indiretos, por exemplo mostrando que é monótona e limitada. |
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| Autor: | henryrod [ 23 nov 2012, 13:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que a sucessão |
Era disso que eu queria ter a certeza, obrigado. |
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| Autor: | luisaM [ 26 nov 2012, 22:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que a sucessão [resolvida] |
Muito Obrigada! |
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