Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Calcule
\(\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^2}-\frac{n}{3} \right )\)

A melhor maneira de resolver é usar a fórmula:

\({1^2+2^2+\cdots +n^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\)

Assim,

\(\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^2}-\frac{n}{3} \right )=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^2}-\frac{n}{3} \right )=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6n}-\frac{n}{3} \right )=\frac{1}{2}\)

Desde já obrigado pela resposta. Podes explicar-me a primeira formula utilizada que passa a sucessão para uma fração divisivel por 6?

Qual? \({1^2+2^2+\cdots +n^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\)?

Trata-se de uma fórmula bem conhecida, ver por exemplo:

square pyramidal number

No link não vi relação entre a soma do problema e a formula.

Repare que um número piramidal quadrado é um número do tipo \(1^2+2^2+\cdots +n^2\), da mesma forma que um número triangular é um número do tipo \(1+2+\cdots +n\).

Obrigado pelo esclarecimento. Existe outra forma de calcular? É que o número piramidal quadrado não é referido na matéria de estudo e por isso não sei se é por aí ou se devo calcular de outra forma.

Não é de excluir que possa aparecer com outro nome.

Uma outra maneira de resolver o exercício é usar o seguinte truque (pouco óbvio):

\(\frac{n}{3}=\frac{n^3}{3n^2}=\frac{n^3-(n-1)^3+(n-1)^3+\cdots -2^3+2^3-1^3+1^3}{3n^2}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k^3-(k-1)^3}{3n^2}\right)=\sum_{k=1}^n\left(\frac{3k^2-3k+1}{3n^2}\right)\).

Assim, \(\frac{n}{3}=\left(\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\right)-\left(\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\right)+\frac{n}{3n^2}=\left(\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\right)-\frac{n(n+1)}{2n^2}+\frac{1}{3n}\)

E portanto, \(\left(\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\right)-\frac{n}{3}=\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{3n}\to \frac{1}{2}\)