Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k+3^k}=}\)

What shall I suppose to find? The general expression?

We can clearly see that it converges

\(\frac{1}{3^k+3^k}<\frac{1}{2^k+3^k}<\frac{1}{2^k+2^k}\)

\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k+3^k}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k+3^k}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k+2^k}\)

\(\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k+3^k}<\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}\)

\(\frac{1}{2}\frac{1}{1-1/3}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k+3^k}<\frac{1}{2}\frac{1}{1-1/2}\)

\(\frac{3}{4}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k+3^k}<1\)

So it converges

But I'm not really seeing how shall I calculate the general expression... but if you find out kindly let me know..

regards

PS: And next time dear kinu just try to use the word 'please'

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Hi

Thanks to a very kind user named JJacquelin the solution was found

The q-polygamma functions (do not confuse with the usual polygamma functions) were used

See the image

Best regards

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João Pimentel Ferreira
 
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Thanks Admin for Nice solution