Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prezados, não consigo decompor o somatório. Alguém pode ajudar? Questão em anexo.

Dica:
\(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{(2n-1)^2} =\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2} -\sum_{n\ge 1}\frac{1}{(2n)^2} =\left(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}\right)-\frac{1}{4}\left(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}\right)=\cdots\)

Não entendi a primeira igualdade. Por que sum 1/(2n-1)² = sum 1/2n² - sum 1/(4n²)?

Não se trata de separar o termo \(1/(2n-1)^2\) mas sim o conjunto dos termos \(1/n^2\) nos pares e ímpares: \(\left\{\frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\dots , \frac{1}{n^2},\dots \right\}=\left\{\frac{1}{2^2},\frac{1}{4^2},\frac{1}{6^2},\dots , \frac{1}{(2n)^2},\dots \right\}\bigcup \left\{\frac{1}{1^2},\frac{1}{3^2},\frac{1}{5^2},\dots , \frac{1}{(2n-1)^2},\dots \right\}\).
O que a primeira igualdade diz, é que a soma dos inversos dos quadrados ímpares é igual à soma dos todos inversos dos quadrados menos a soma dos inversos dos quadrados pares.