Boa Noite Sobolev . Obrigado pelo Input ! Passei um bom tempo pensando em como introduzir a noção de Convergência uniforme para aplicações de um conjunto qualquer em um esp.topológico [não necessariamente metrizavel ] , mas sem sucesso ... Da mesma forma , tentei generalizar a noção de continuidade uniforme para aplicações entre espaços topológicos ...novamente sem sucesso ! Percebo que falta estrutura para "uniformizar propriedades " (como as noções acima ) , a menos que estes espaços sejam metrizaveis .. Talvez numa variedade , poderíamos definir as noções acima localmente usando uma carta local .. Porém não sei , se tal definição faria sentido , e se seria unívoca já que poderia depender da carta local . Pergunta : Será que podemos add mais estrutura nestes espaços topológicos para tais noções serem definidas ? Assim , como foi feito para introduzir a noção Variedades Diferenciáveis etc ..
Desde Já obrigado :
Compartilhando a nova solução para checarem se está ok !
Modificação do Enunciado : Mantemos todas as hipóteses do enunciado com exceção do seguinte :
i) \(Y\) será um espaço métrico \((Y,d)\) ii) \(F_n\) convergirá uniformemente para \(F\) numa vizinhança U paracompacta de a (isto é uma vizinhança aberta de a cujo fecho é compacto ) ( ( o que é equivalente dizer que : \(F_n\) restrita \(\overline{U}\) converge para \(F\) restrita a \(\overline{U}\) com respeito a métrica da convergência uniforme ) \(d_{\infty} : ( f,g) \in C( \overline{U} ; (Y,d) ) \times C( \overline{U} ; (Y,d) ) \mapsto \sup \{d(f(x),g(x) ) ; x \in \overline{U} } \in (0, +\infty) \}\)
Assim , sob as considerações acima , seja \(\epsilon > 0\) . Para todo x e n , vale que \(d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d(F_n(a_n) ,F(a_n)) + d(F(a_n) ,F(a))\) ,
Escolha \(n_0\) tal que :
a) \(a_n \in U \forall n > n_0\) (hip que a_n converge para a ) b) \(d_{\infty} (F_n , F) < \epsilon \forall n, m > n_0\) (abuso de notação ..é F_n, F restrita a U ) c) Pela continuidade de F , 'diminuindo ' U se necessário (não vamos perder a paracompacidade ) , teremos que \(d(F(a_n) ,F(a)) < \epsilon \forall n > n_0\)
Então se \(n > n_0\) , por a) e b) , resulta que
\(d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d(F_n(a_n) ,F_m(a_n)) + d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d_{\infty} (F_n , F_m ) +d_{\infty} (F_n , F_m ) < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon\) estabilizando o resultado .
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