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MensagemEnviado: 20 abr 2011, 12:41 
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Boas... agora sou eu que pergunto :)

Sabem-me resolver esta série? Está a dar-me a volta à cabeça... O termo 'n' aparece no limite superior da série e aparece também no termo geral da série.

Imagem

Quero resolver o limite quando n->Inf... Sei através do Wolfram que dá 1/5, mas e a demonstração? :)

Obrigado


Anexos:
série.jpg
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João Pimentel Ferreira
 
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MensagemEnviado: 21 abr 2011, 01:18 
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O problema assim se resolve

Podemos limitar o termo da série da seguinte forma

(n^2)/(5n^3)>n^2/(5n^3 + 2k)>=(n^2)/(5n^3 + 2n) para todo o 'n' e 'k' pertencentes a |N e n>=k

Então

sum ((n^2)/(5n^3))> sum (n^2/(5n^3 + 2k))>= sum ((n^2)/(5n^3 + 2n))

como nas séries dos extremos cuja variável é 'k' não existem termos 'k', e a série vai de k=0 até k=n, temos (n+1) termos, podemos assim simplificar:

(n+1)((n^2)/(5n^3))> sum (n^2/(5n^3 + 2k))>= (n+1)((n^2)/(5n^3 + 2n))

Ora fazendo o limite quando n->Inf em todos os termos da inequação temos

1/5 > lim(n->Inf) sum (k=0 até n) (n^2/(5n^3 + 2k))>= 1/5

O que significa que o limite da sucessão do enunciado com a série só pode ser 1/5


lim(n->Inf) sum (k=0 até n) (n^2/(5n^3 + 2k)) = 1/5

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