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| Série de Taylor e raio de convergência (Como prosseguir?) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12242 |
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| Autor: | Estudioso [ 18 jan 2017, 02:45 ] |
| Título da Pergunta: | Série de Taylor e raio de convergência (Como prosseguir?) |
Boa noite a todos! Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor de a. \(f(x)=ln(1+x);\,\,a=0\) Calculando a n-ésima derivada cheguei em: \(f'(x)=\frac{1}{1+x}\) \(f"(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\) \(f^{(3)}(x)=\frac{2}{(1+x)^3}\) \(f^{(4)}(x)=\frac{-6}{(1+x)^4}\) Não consegui encontrar uma expressão para \(f^{(n)}(x)\). Apenas percebi que o denominador pode ser escrito como \({(1+x)^n}\) Agradeço |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 18 jan 2017, 03:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência (Como prosseguir?) |
Só escrever doutra forma: \(f'(x)=(1+x)^{-1} f''(x)=-1\cdot (1+x)^{-2} f'''(x)=1\cdot 2(1+x)^{-3} f^{(4)}(x)=-1\cdot 2\cdot 3\cdot (1+x)^{-4} \vdots f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!\cdot (1+x)^{-n}\) Onde temos para x=0: \(f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!\) \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!}{n!}\cdot x^n=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot x^n\) O raio de convergência é trivial, converge para \(\left | x \right |<1\) |
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