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| Série de Taylor e raio de convergência (cosh(x)) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12252 |
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| Autor: | Estudioso [ 19 jan 2017, 20:14 ] |
| Título da Pergunta: | Série de Taylor e raio de convergência (cosh(x)) |
Encontre a série de Taylor de f(x) = cosh(x) centrada no valor de a = 0. Qual o seu raio de convergência? Agradeço |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 20 jan 2017, 00:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência (cosh(x)) |
Usando análise complexa e sabendo a série Maclaurin do cos: \(\cosh(z)=\cos(iz)=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n(iz)^{2n}}{2n!}=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot (-1)^nz^{2n}}{2n!}=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{2n}}{2n!}\) Como a função não tem nenhuma singularidade a série de Taylor é válida em C. Desta forma é válida no eixo dos reais. De outra forma sem utilizar análise complexa sabendo a série Taylor do exponencial: \(\cosh(x)=\frac{1}{2}\left ( e^x+e^{-x} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^n}{n!}+(-1)^n\cdot \frac{x^n}{n!}\right )\) para n=2n (n par) \(\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^{2n}}{2n!}+ \frac{x^{2n}}{2n!}\right )=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}\) para n=2n+1 (n ímpar) \(\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}- \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right )=0\) Pelo que: \(\cosh(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}\) Pela forma tradicional, a derivada vai alternando entre cosh e sinh pelo que: \(f^{(n)}(0)=\begin{cases} 1 & \text{ se n par} \\ 0 & \text{ se n impar} \end{cases}\) Ficando apenas os elementos pares. \(\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}=1\cdot \frac{x^0}{\cdot 0!}+0\cdot \frac{x^1}{1!}+1\cdot \frac{x^2}{2!}+...\) |
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