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| Obter a Série de Potências https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12253 |
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| Autor: | Estudioso [ 19 jan 2017, 20:26 ] |
| Título da Pergunta: | Obter a Série de Potências |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 20 jan 2017, 01:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Obter a Série de Potências |
f tem uma singularidade em t=0 em que é uma singularidade removível. Desta forma a Série de Laurent é: Obs: continua a ser necessário a extensão para t=0. \(f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\frac{(-1)^n\cdot t^{4n}}{2n!}-1}{t^2}=-\frac{1}{t^2}+\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot t^{4n-2}}{2n!}=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot t^{4n-2}}{2n!}\) Como só tem singularidade em t=0, o raio de convergência é infinito. \(F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\, dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot t^{4n-2}}{2n!}\, dt=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^n}{2n!}\left [ \frac{t^{4n-1}}{4n-1} \right ]_{0}^{x}=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot x^{4n-1}}{2n!(4n-1)}=\frac{1}{x}\cdot \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^n}{2n!(4n-1)}\cdot x^{4n}\) Podemos integrar desta forma porque apesar de o que está a ser integrado não ser continua em t=0, o integral não olha a um só ponto. Sendo que tem um número finito de descontinuidades. Se não me enganei pelo meio, creio que seja assim. |
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| Autor: | Sobolev [ 20 jan 2017, 13:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Obter a Série de Potências |
Pedro, chegou ao desenvolvimento correcto de f(t) mas o início dos cálculos não faz sentido... não pode subtrair 1 ao coeficiente do desenvolvimento do coseno, tem que subtrair 1 à série. Se \(t \ne 0\) temos que \(\frac{1}{t^2} (\cos (t^2)-1) = \frac{1}{t^2}\left(-1 + \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \cdot \frac{(t^2)^{2n}}{(2n)!}\right)= \frac{1}{t^2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{4n}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{4n-2}\) Ora, esta série coincide com f para qualquer \(t\ne 0\) e quando t=0 valor da soma da série é zero, pelo que este desenvolvimento é válido em \(\mathbb{R}\). De facto a função f é contínua em t=0 e até tem derivadas de todas as ordens. O desenvolvimento do Pedro para F(x) está também correcto, mas as observações sobre a falte de continuidade não se aplicam. |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 20 jan 2017, 17:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Obter a Série de Potências |
Como está representado uma única fração, está sim representado que estou a tirar 1 ao coeficiente da série. Mas na prática não foi o que fiz. Apenas dividi por t². Erro meu na representação. Sobre a descontinuidade Sabolev, fiquei então com uma dúvida por causa do 4n-2. É certo que para qualquer n (partir de 1) o denominador corta com o numerador, porém fica \(\frac{t^{4n}}{t^2}\), só seria descontinuidade se a série começasse com n<=0 ? Grato. |
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| Autor: | Sobolev [ 22 jan 2017, 21:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Obter a Série de Potências |
É isso mesmo Pedro, neste caso a singularidade é completamente absorvida uma vez que no numerador todas as potências são superiores e 2. |
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